泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：
f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!•(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!•(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!•(x-x.)^n+rn
其中rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!•(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
（注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数，不是f(n)与x.的相乘。）
证明：我们知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx），其中误差α是在limΔx→0即limx→x.的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：
p(x)=a0+a1(x-x.)+a2(x-x.)^2+……+an(x-x.)^n
来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-p(x)的具体表达式。设函数p(x)满足p(x.)=f(x.),p'(x.)=f'(x.),p''(x.)=f''(x.),……,p(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出a0、a1、a2、……、an。显然，p(x.)=a0,所以a0=f(x.)；p'(x.)=a1,a1=f'(x.)；p''(x.)=2!a2,a2=f''(x.)/2!……p(n)(x.)=n!an,an=f(n)(x.)/n!。至此，多项的各项系数都已求出，得：p(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!•(x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n!•(x-x.)^n.
接下来就要求误差的具体表达式了。设rn(x)=f(x)-p(x),于是有rn(x.)=f(x.)-p(x.)=0。所以可以得出rn(x.)=rn'(x.)=rn''(x.)=……=rn(n)(x.)=0。根据柯西中值定理可得rn(x)/(x-x.)^(n+1)=rn(x)-rn(x.)/(x-x.)^(n+1)-0=rn'(ξ1)/(n+1)(ξ1-x.)^n(注：(x.-x.)^(n+1)=0),这里ξ1在x和x.之间；继续使用柯西中值定理得rn'(ξ1)-rn'(x.)/(n+1)(ξ1-x.)^n-0=rn''(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x.)^(n-1)这里ξ2在ξ1与x.之间；连续使用n+1次后得出rn(x)/(x-x.)^(n+1)=rn(n+1)(ξ)/(n+1)!，这里ξ在x.和x之间。但rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-p(n+1)(x),由于p(n)(x)=n!an,n!an是一个常数，故p(n+1)(x)=0，于是得rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)。综上可得，余项rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!•(x-x.)^(n+1)。一般来说展开函数时都是为了计算的需要，故x往往要取一个定值，此时也可把rn(x)写为rn。
麦克劳林展开式：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和：
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!•x^2,+f'''(0)/3!•x^3+……+f(n)(0)/n!•x^n+rn
其中rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!•x^(n+1),这里0<θ<1。
证明：如果我们要用一个多项式p(x)=a0+a1x+a2x^2+……+anx^n来近似表示函数f(x)且要获得其误差的具体表达式，就可以把泰勒公式改写为比较简单的形式即当x.=0时的特殊形式：
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!•x^2,+f'''(0)/3!•x^3+……+f(n)(0)/n!•x^n+f(n+1)(ξ)/(n+1)!•x^(n+1)
由于ξ在0到x之间，故可写作θx，0<θ<1。
麦克劳林展开式的应用：
1、展开三角函数y=sinx和y=cosx。
解：根据导数表得：f(x)=sinx,f'(x)=cosx,f''(x)=-sinx,f'''(x)=-cosx,f(4)(x)=sinx……
于是得出了周期规律。分别算出f(0)=0，f'(0)=1,f''(x)=0,f'''(0)=-1,f(4)=0……
最后可得：sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+x^9/9!-……（这里就写成无穷级数的形式了。）
类似地，可以展开y=cosx。
2、计算近似值e=limx→∞(1+1/x)^x。
解：对指数函数y=e^x运用麦克劳林展开式并舍弃余项：
e^x≈1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!
当x=1时，e≈1+1+1/2!+1/3!+……+1/n!
取n=10,即可算出近似值e≈2.7182818。
3、欧拉公式：e^ix=cosx+isinx（i为-1的开方，即一个虚数单位）
证明：这个公式把复数写为了幂指数形式，其实它也是由麦克劳林展开式确切地说是麦克劳林级数证明的。过程具体不写了，就把思路讲一下：先展开指数函数e^z，然后把各项中的z写成ix。由于i的幂周期性，可已把系数中含有土i的项用乘法分配律写在一起，剩余的项写在一起，刚好是cosx,sinx的展开式。然后让sinx乘上提出的i，即可导出欧拉公式。有兴趣的话可自行证明一下。


泰勒展开式

e的发现始于微分,当h逐渐接近零时,计算之值,其结果无限接近一定值2.71828...,这个定值就是e,最早发现此值的人是瑞士著名数学家欧拉,他以自己姓名的字头小写e来命名此无理数.
计算对数函数的导数,得,当a=e时,的导数为,因而有理由使用以e为底的对数,这叫作自然对数.
若将指数函数ex作泰勒展开,则得
以x=1代入上式得
此级数收敛迅速,e近似到小数点后40位的数值是
将指数函数ex扩大它的定义域到复数z=x+yi时,由
透过这个级数的计算,可得
由此,demoivre定理,三角函数的和差角公式等等都可以轻易地导出.譬如说,z1=x1+y1i,z2=x2+y2i,
另方面,
所以,
我们不仅可以证明e是无理数,而且它还是个超越数,即它不是任何一个整系数多项式的根,这个结果是hermite在1873年得到的.
甲)差分.
考虑一个离散函数(即数列)r,它在n所取的值u(n)记成un,通常我们就把这个函数书成或(un).数列u的差分还是一个数列,它在n所取的值以定义为
以后我们干脆就把简记为
(例):数列1,4,8,7,6,-2,...的差分数列为3,4,-1,-1,-8...
注:我们说「数列」是「定义在离散点上的函数」如果在高中,这样的说法就很恶劣.但在此地,却很恰当,因为这样才跟连续型的函数具有完全平行的类推.
差分算子的性质
(i)[合称线性]
(ii)(常数)[差分方程根本定理]
(iii)
其中,而(n(k)叫做排列数列.
(iv)叫做自然等比数列.
(iv)'一般的指数数列(几何数列)rn之差分数列(即「导函数」)为rn(r-1)
(乙).和分
给一个数列(un).和分的问题就是要算和.怎么算呢我们有下面重要的结果:
定理1(差和分根本定理)如果我们能够找到一个数列(vn),使得,则
和分也具有线性的性质:
甲)微分
给一个函数f,若牛顿商(或差分商)的极限存在,则我们就称此极限值为f为点x0的导数,记为f'(x0)或df(x),亦即
若f在定义区域上每一点导数都存在,则称f为可导微函数.我们称为f的导函数,而叫做微分算子.
微分算子的性质:
(i)[合称线性]
(ii)(常数)[差分方程根本定理]
(iii)dxn=nxn-1
(iv)dex=ex
(iv)'一般的指数数列ax之导函数为
(乙)积分.
设f为定义在[a,b]上的函数,积分的问题就是要算阴影的面积.我们的办法是对[a,b]作分割:
;其次对每一小段[xi-1,xi]取一个样本点;再求近似和;最后再取极限(让每一小段的长度都趋近于0).
若这个极限值存在,我们就记为的几何意义就是阴影的面积.
(事实上,连续性也「差不多」是积分存在的必要条件.)

积分算子也具有线性的性质:
定理2若f为一连续函数,则存在.(事实上,连续性也「差不多」是积分存在的必要条件.)
定理3(微积分根本定理)设f为定义在闭区间[a,b]上的连续函数,我们欲求积分如果我们可以找到另一个函数g,使得g'=f,则
注:(1)(2)两式虽是类推,但有一点点差异,即和分的上限要很小心!
上面定理1及定理3基本上都表述着差分与和分,微分与积分,是两个互逆的操作,就好像加法与减法,乘法与除法是互逆的操作一样.
我们都知道差分与微分的操作比和分与积分简单多了,而上面定理1及定理3告诉我们,要计算(un)的和分及f的积分,只要去找另一个(vn)及g满足,g'=f(这是差分及微分的问题),那么对vn及g代入上下限就得到答案了.换句话说,我们可以用较简单的差分及微分操作来掌握较难的和分及积分操作,这就是"以简御繁"的精神.牛顿与莱布尼慈对微积分最大的贡献就在此.
甲)taylor展开公式
这分别有离散与连续的类推.它是数学中「逼近」这个重要想法的一个特例.逼近想法的意思是这样的:给一个函数f,我们要研究f的行为,但f本身可能很复杂而不易对付,于是我们就想法子去找一个较「简单」的函数g,使其跟f很「靠近」,那么我们就用g来取代f.这又是以简御繁的精神表现.由上述我们看出,要使用逼近想法,我们还需要澄清
两个问题:即如何选取简单函数及逼近的尺度.
(一)对于连续世界的情形,taylor展式的逼近想法是选取多项函数作为简单函数,并且用局部的「切近」作为逼近尺度.说得更明白一点,给一个直到到n阶都可导微的函数f,我们要找一个n次多项函数g,使其跟f在点x0具有n阶的「切近」,即,答案就是
此式就叫做f在点x0的n阶taylor展式.
g在x0点附近跟f很靠近,于是我们就用g局部地来取代f.从而用g来求得f的一些局部的定性行为.因此taylor展式只是局部的逼近.当f是足够好的一个函数,即是所谓解析的函数时,则f可展成taylor级数,而且这个taylor级数就等于f自身.
值得注意的是,一阶taylor展式的特殊情形,此时g(x)=f(x0+f'(x0)(x-x0))的图形正好是一条通过点(x0,f(x0))而且切于f的图形之直线.因此f在点x0的一阶taylor展式的意义就是,我们用过点(x0,f(x0))的切线局部地来取代原来f曲线.这种局部化「用平直取代弯曲」的精神,是微分学的精义所在.
利用talor展式,可以帮忙我们做很多事情,比如判别函数的极大值与极小值,求积分的近似值,作函数表(如三角函数表,对数表等),这些都是意料中事.事实上,我们可以用逼近的想法将微积分「一以贯之」.
复次我们注意到,我们选取多项函数作为逼近的简单函数,理由很简单:在众多初等函数中,如三角函数,指数函数,对数函数,多项函数等,从算术的观点来看,以多项函数最为简单,因为要计算多项函数的值,只牵涉到加减乘除四则运算,其它函数就没有这么简单.
当然,从别的解析观点来看,在某些情形下还另有更有用更重要的简单函数.例如,三角多项式,再配合上某种逼近尺度,我们就得到fourier级数展开,这在应用数学上占有举足轻重的地位.(事实上,fourier级数展开是采用最小方差的逼近尺度,这在高等数学中经常出现,而且在统计学中也有应用.)
注:取x0=0的特例,此时taylor展式又叫做maclaurin展式.不过只要会做特例的展开,欲求一般的taylor展式,作一下平移(或变数代换)就好了.因此我们大可从头就只对x=0点作taylor展式.
(二)对于离散的情形,taylor展开就是:
给一个数列,我们要找一个n次多项式数列(gt),使得gt与ft在t=0点具有n阶的「差近」.所谓在0点具有n阶差近是指:
答案是此式就是离散情形的maclaurin公式.
乙)分部积分公式与abel分部和分公式的类推
(一)分部积分公式:
设u(x),v(x)在[a,b]上连续,则
(二)abel分部和分公式:
设(un),(v)为两个数列,令sn=u1+......+un,则
上面两个公式分别是莱布尼慈导微公式d(uv)=(du)v+u(dv),及莱布尼慈差分公式的结论.注意到,这两个莱布尼慈公式,一个很对称,另一个则不然.
(丁)复利与连续复利(这也分别是离散与连续之间的类推)
(一)复利的问题是这样的:有本金y0,年利率r,每年复利一次,要问n年后的本利和yn=显然这个数列满足差分方程yn+1=yn(1+r)
根据(丙)之(二)得知yn=y0(1+r)n这就是复利的公式.
(二)若考虑每年复利m次,则t年后的本利和应为
令,就得到连续复利的概念,此时本利和为y(t)=y0ert
换句话说,连续复利时,t时刻的本利和y(t)=y0ert就是微分方程y'=ry的解答.
由上述我们看出离散复利问题由差分方程来描述,而连续复利的问题由微分方程来描述.对于常系数线性的差分方程及微分方程,解方程式的整个要点就是叠合原理,因此求解的办法具有完全平行的类推.
(戊)fubini重和分定理与fubini重积分定理(也是离散与连续之间的类推)
(一)fubini重和分定理:给一个两重指标的数列(ars),我们要从r=1到m,s=1到n,对(ars)作和,则这个和可以这样求得:光对r作和再对s作和(反过来亦然).亦即我们有
(二)fubini重积分定理:设f(x,y)为定义在上之可积分函数,则
当然,变数再多几个也都一样.
(己)lebesgue积分的概念
(一)离散的情形:给一个数列(an),我们要估计和,lebesgue的想法是,不管这堆数据指标的顺序,我们只按数值的大小来分堆,相同的分在一堆,再从每一堆中取一个数值,乘以该堆的个数,整个作和起来,这就得到总和.
(二)连续的情形:给一个函数f,我们要定义曲线y=f(x)跟x轴从a到b所围出来的面积.
lebesgue的想法是对f的影域作分割:
函数值介yi-1到yi之间的x收集在一齐,令其为,于是[a,b]就相应分割成,取样本点,作近似和
让影域的分割加细,上述近似和的极限若存在的话,就叫做f在[a,b]上的lebesgue积分.


泰勒公式的余项
泰勒余项可以写成以下几种不同的形式：
1.佩亚诺余项；
2.施勒米尔希-罗什余项；
3.拉格朗日余项；
4.柯西余项；
5.积分余项。


泰勒简介

18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒（brooktaylor），于1685年8月18日在米德尔塞克斯的埃德蒙顿出生。1709年后移居伦敦，获法学硕士学位。他在1712年当选为英国皇家学会会员，并于两年后获法学博士学位。同年（即1714年）出任英国皇家学会秘书，四年后因健康理由辞退职务。1717年，他以泰勒定理求解了数值方程。最后在1731年12月29日于伦敦逝世。

泰勒的主要著作是1715年出版的《正的和反的增量方法》，书内以下列形式陈述出他已于1712年7月给其老师梅钦（数学家、天文学家）信中首先提出的著名定理——泰勒定理：式内v为独立变量的增量，及为流数。他假定z随时间均匀变化，则为常数。上述公式以现代形式表示则为：这公式是从格雷戈里－牛顿插值公式发展而成的，当x＝0时便称作马克劳林定理。1772年，拉格朗日强调了此公式之重要性，而且称之为微分学基本定理，但泰勒于证明当中并没有考虑级数的收敛性，因而使证明不严谨，这工作直至十九世纪二十年代才由柯西完成。

泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都可展成幂级数；同时亦使泰勒成了有限差分理论的奠基者。泰勒于书中还讨论了微积分对一系列物理问题之应用，其中以有关弦的横向振动之结果尤为重要。他透过求解方程导出了基本频率公式，开创了研究弦振问题之先河。此外，此书还包括了他于数学上之其他创造性工作，如论述常微分方程的奇异解，曲率问题之研究等。

1715年，他出版了另一名著《线性透视论》，更发表了再版的《线性透视原理》（1719）。他以极严密之形式展开其线性透视学体系，其中最突出之贡献是提出和使用「没影点」概念，这对摄影测量制图学之发展有一定影响。另外，还撰有哲学遗作，发表于1793年。