n次复系数多项式在复数域上至少有一根(n≥1)
由此推出,n次复系数多项式在复数域内有且只有n个根,重根按重数计算.
此定理最初为gauss所证,现有200多种证法,下举出一个常用的证明:


在证明之前,要先引入3个引理:

引理1每个奇数次实系数多项式必有实根。(这一事实从连续函数的中值定理得出)

引理2复系数二次多项式的根均是复根。

引理3每个次数>0的实系数多。



证明：设g(x)∈r[x],degg(x)=d>0。d=2nq,2łq,n≥0.我们对n作数学归纳法。如果n=0，则g(x)为奇次实系数多项式。由引理1可知它有复根。下设n=n0≥1，并且对n比n0小的情形引理3成立。令x1,x2,…,xd为g(x)在r的适当的扩域的全部根（g(x)的分裂域总存在，但不知道含于c）。我们的目标是证明必有某个xi∈c。

为证此，取任意一个实数c。令yij=xi+xj+cxixj(1≤i≤j≤d).

一共有d(d+1)/2个yij.又令

g(x)=∏1≤i≤j≤d(x－yij)=xm＋g1(x1,…,xd)xm－1＋…＋gm(x1,…,xd),

m=2n－1q(d+1).

不难看出，每个gi(x1,…,xd)均是x1,…,xd的实系数对称多项式，从而gi(x1,…,xd)∈r[σ1,…,σd],其中σ1,…,σd为x1,…,xd

的初等对称多项式。但是g(x)=xd－σ1xd－1＋σ2xd－2－…＋(－1)dσd∈r[x],从而σ1,σ2,…,σd∈r。于是gi(x1,…,xd)∈r(1≤i≤m).从而g(x)∈r[x].由于n≥1,从而2|d=2nq,于是2†(d+1)q，而degg(x)=2n-1q(d+1).由归纳假设知道g(x)有复根z0.换句话说，我们有i(c)和j(c)(均与有关)，使得

yi(c),j(c)=xi(c)+xj(c)+cxi(c)xj(c)=z0∈c.

由于指标集{（i,j）}是有限的，而实数c可任意选取，从而必然存在c≠c’，c,c’∈r,使得

i(c)=i(c’),j(c)=j(c’).令它们分别为r和s，于是得到

xr+xs+cxrxs=z0∈c,xr+xs+c’xrxs=z1∈c.

由此及c≠c’，c,c’∈r,可知xr+xs∈c,xrxs∈c.于是h(x)=x2－(xr+xs)x+xrxs∈c[x].根据引理2，h(x)的两个根xr和xs均是复数根，这就证明了存在某个i，使得xi∈c.□



最后我们来证明代数基本定理：设f(x)=∑0≤i≤ncixi∈c[x],degf≥1.记f(x)=∑0≤i≤ncixi∈c[x],，其中ci表示ci的共轭复数.令g(x)=f(x)f(x)∈r[x]。根据引理3，存在α∈c，使得g(α)=0.于是α为f(x)或f(x)的根。如果α为f(x)的根,则证明完毕.如果α为f(x)的根,则共轭复数α为f(x)的根.这就证明了代数基本定理.