英文翻译为beatty定理
设a、b是正无理数且1/a+1/b=1。记p={[na]|n为任意的正整数}，q={[nb]|n为任意的正整数}，则p与q是z+的一个划分，即p∩q为空集且p∪q为正整数集合z+。
证明：因为a、b为正且1/a+1/b=1，则a、b>1，所以对于不同的整数n，[na]各不相同，类似对b有相同的结果。因此任一个整数至多在集合p或q中出现一次。

*现证明p∩q为空集；(反证法)假设k为p∩q的一个整数，则存在正整数m、n使得[ma]=[nb]=k。即k<ma、nb<k+1，等价地改写不等式为

*m/(k+1)<1/a<m/k及n/(k+1)<1/b<n/k。相加起来得(m+n)/(k+1)<1<(m+n)/k，即k<m+n<k+1。这与m、n为整数有矛盾，所以p∩q为空集。现证明z+=p∪q；已知p∪q是z+的子集，剩下来只要证明z+是p∪q的子集。(反证法)假设z+\(p∪q)有一个元素k，则存在正整数m、n使得[ma]<k<[(m+1)a]、[nb]<k<[(n+1)b]。由此得ma<k╭[(m+1)a]-1<(m+1)a-1，类似地有nb<k╭[(n+1)b]-1<(n+1)b-1。等价地改写为m/k<1/a<(m+1)/(k+1)及n/k<1/b<(n+1)/(k+1)。两式加起来，得

(m+n)/k<1<(m+n+2)/(k+1)，即m+n<k<k+1<m+n+2。这与m,n,k皆为正整数矛盾。所以z+=p∪q。