一个集合称为可列集（或可数集），如果这个集合于自然数集合之间存在一一对应；也就是说，存在一个从该集合到自然数集合的双射（也称可逆映射）。

自然数集、有理数集、代数数集都是可列集。

实数集、复数集、直线点集、平面点集都是不可列集（或不可数集）。

可列集是最小的无限集；它的幂集是不可数集--和实数集存在一一对应（也称同势）。所谓幂集，就是原集合中所有的子集（包括全集和空集）构成的集族。

康托第一个认真研究了无限集合，分清了可列集和不可数集的区别，并用对角线法证明了实数集不是可列集。此外，康托指出了幂集的势总是严格大于原集合。由此结论导致了康托猜想（即连续统假设）和康托悖论。

康托猜想：不存在一个集合，它的势严格大于可列集的势，同时严格小于实数集的势。
逻辑学家歌德尔证明了这个连续统假设是不能被证明的，也不能被证伪--就是说不能从现有的数学公理体系推演出该结论或者否定该结论。

康托悖论：考虑所有的集合组成的最大的集族，这个集族的幂集当然也是集合，所以本身也是该集合的一部分，从而它的势应该不超过原集合的势；但是另一方面，幂集的势有严格大于原集合的势，从而导致矛盾。
罗素首先意识到集合的概念存在问题。他提出所谓的类型论，指出有一类“集合”并不是真正的集合，而是所谓的“类”，集合本身是不能包含自身的；“类”却可以。从这个角度出发，就可以解释上述的悖论。