陈文灯先生的“数学复习指南”中,关于积分中值定理的叙述为:
积分中值定理:若在[a,b]上连续,则在[a,b]上至少存在一个点x,满足

在同济大学的“高等数学(第五版)”教材中该定理已有所改进.叙述如下:
积分中值定理:若在[a,b]上连续,则在(a,b)上至少存在一个点x,满足

也就是说,将原定理中的改进为.下面举出一些例题来说明改进后的中值定理的一些应用.
例1证明
证明:


评注:按原来的中值定理,只能得到“³0”;按改进后的中值定理,因为,所以得到“>0”.
例2假设上连续且严格单减,试证对任何有

证明:
=


因为,所以才得到“>0”的不等式.
例3假设为[0,1]上的连续、非负、严格单减函数,且,证明

证明:

(由于使用改进后的中值定理,所以才得到上面严格不等号的不等式)
由以上二个不等式,可以得到


二边乘以,得

因为,由于为[0,1]上的连续、非负,
所以
所以.
顺便指出,陈文灯先生的“数学复习指南”中,关于单调性的定理也需要改进.
原书中的关于单调性的定理:
定理假设区间内可导,如果,则函数区间内单调增加(或单调减少).
应改成:
定理假设在[a,b]上的连续函数区间内可导,如果,则函数区间内单调增加(或单调减少).(同济版“高等数学”第五版上册p144)