也叫费马质数或费马素数.

法国数学家费马于1640年提出了以下猜想:

可以发现
f1=2^(2^1)+1=5
f2=2^(2^2)+1=17
f3=2^(2^3)+1=257
f4=2^(2^4)+1=65537
f5=2^(2^5)+1=4294967297
前4个是质数,因为第5个数实在太大了,费马认为是质数.
由此提出(费马没给出证明),形如fn=2^(2^n)+1的数都是质数的猜想.后来人们就把形如2^(2^n)+1的数叫费马数.

1732年,欧拉算出f5=641*6700417,不是质数,宣布了费马的这个猜想不成立,它不能作为一个求质数的公式.以后,人们又陆续找到了不少反例,如n=6时,f6=2^(2^6)+1=274177*67280421310721,不是质数.至今这样的反例共找到了46个,却还没有找到第6个正面的例子,也就是说目前只有n=0,1,2,3,4这5个情况下,fn才是质数.

实际上几千年来,数学家们一直在寻找这样的一个公式,一个能求出所有质数的公式;但直到现在,谁也未能找到这样一个公式,而且谁也未能找到证据,说这样的公式就一定不存在;这样的公式存不存在,也就成了一个著名的数学难题.

虽然费马数作为一个关于指数公式的尝试失败了,但有意思的是,1801年数学家高斯证明:如果k是质数的费马数,那么就可以用直尺和圆规将圆周k等分.高斯本人就根据这个定理作出了正十七边形.