黑洞数又称陷阱数,是类具有奇特转换特性的整数。任何一个数字不全相同整数,经有限“重排求差”操作,总会得某一个或一些数,这些数即为黑洞数。"重排求差"操作即组成该数得排后的最大数去重排的最小数。

　　举个例子，三位数的黑洞数为495

　　简易推导过程：随便找个数，如297，三个位上的数从小到大和从大到小各排一次，为972和279，相减，得693

　　按上面做法再做一次，得到594，再做一次，得到495

　　之后反复都得到495

　　再如，四位数的黑洞数有6174


神秘的6174－黑洞数

　　随便造一个四位数，如a1=1628,先把组成部分1628的四个数字由大到小排列得到a2＝8621，再把1628的四个数字由小到大排列得a3＝1268，用大的减去小的a2-a1=8621-1268＝7353，把7353按上面的方法再作一遍，由大到小排列得7533，由小到大排列得3357，相减7533-3367＝4176
把4176再重复一遍：7641-1467＝6174。
　　如果再往下作，奇迹就出现了！7641-1467＝6174，又回到6174。
　　这是偶然的吗？我们再随便举一个数1331，按上面的方法连续去做：
　　3311-1133＝21788721-1278＝74437443-3447＝39969963-3699＝6264
　　6624-2466＝41747641-1467＝6174

　　好啦！6174的“幽灵”又出现了，大家不妨试一试，对于任何一个数字不完全的四位数，最多运算7步，必然落入陷阱中。

　　这个黑洞数已经由印度数学家证明了。

　　在数学中由有很多有趣，有意义的规律等待我们去探索和研究，让我们在数学中得到更多的乐趣。
苏联的科普作家高基莫夫在他的著作《数学的敏感》一书中，提到了一个奇妙的四位数6174，并把它列作“没有揭开的秘密”。不过，近年来，由于数学爱好者的努力，已经开始拨开迷雾。

6174有什么奇妙之处？

　　请随便写出一个四位数，这个数的四个数字有相同的也不要紧，但这四个数不准完全相同，例如3333、7777等都应该排除。

　　写出四位数后，把数中的各位数字按大到小的顺序和小到大的顺序重新排列，将得到由这四个数字组成的四位数中的最大者和最小者，两者相减，就得到另一个四位数。将组成这个四位数的四个数字施行同样的变换，又得到一个最大的数和最小的数，两者相减……这样循环下去，一定在经过若干次（最多7次）变换之后，得到6174。

　　例如，开始时我们取数8208，重新排列后最大数为8820，最小数为0288，8820—0288＝8532；对8532重复以上过程：8532－2358=6174。这里，经过两步变换就掉入6174这个“陷阶”。

　　需要略加说明的是：以0开头的数，例如0288也得看成一个四位数。再如，我们开始取数2187，按要求进行变换：

　　2187→8721－1278＝7443→7443－3447＝3996→9963－3699=6264→6642－2466＝4176→7641－1467＝6174。

　　这里，经过五步变换就掉入了“陷阱”——6174。

　　拿6174本身来试，只需一步：7641－1467=6174，就掉入“陷阱”祟也出不来了。

　　所有的四位数都会掉入6174设的陷阱，不信可以取一些数进行验证。验证之后，你不得不感叹6174的奇妙。

　　任何一个数字不全相同整数，经有限次“重排求差”操作，总会得某一个或一些数，这些数即为黑洞数。"重排求差"操作即组成该数得排后的最大数去重排的最小数。

黑洞数的性质及应用

【摘要】
　　本文提出建立了黑洞数的概念，分别对整数黑洞数、模式黑洞数、方幂余式黑洞数的一般性质做了阐述。并给出了二元一次方程ax-by-c=0的求根法则。

【关键词】
　　黑洞数、整数黑洞数、模式黑洞数、方幂余式黑洞数。

【引言】
　　在日常学习计算中，化简含有未知数的代数式或方程经常会得到x-x=0之结果。此前，人们只是把这种情况定义为“此算式没有意义”而终结。黑洞数理论的出现，让人们看到了代数式或方程中未知数可任意取值时的另一层含义。本文提出证明的方幂余式黑洞数定理，揭示出a,m不互素条件下的余数循环规律，它将与欧拉余数定理互为补充，构造出全体整数的方幂式除法余数运算法则。本文给出的二元一次方程ax-by-c=0的求根公式，将成为余数新理论应用的一个范例。

　　定义1、在含有未知数变量的代数式中，当未知数变量任意取值时其运算结果都不改变，我们把这时的数字结果叫黑洞数。根据运算性质的不同，我们把黑洞数分为以下三种类型：Ⅰ、整数黑洞数Ⅱ、模式黑洞数Ⅲ、方幂余式黑洞数

Ⅰ、整数黑洞数

　　在前文《模根因数定理与模根剩余法判定素数》中，在建立选加因数概念后，我们证明了整数因数定理：
　　若a、b都是大于1的整数，且有g=ab，则有：
　　g+an=a（b+n）
　　其中：n=0、1、2、3……
　　根据整数因数定理，我们即可得到如下整数黑洞数
　　ab+an
---------------=a
b+n
　　其中：n=0、1、2、3……
　　这里，不论未知变量怎样取值，上式的结果都等于a.。
　　例如：取a=7,b=3，ab=21，则有：
　　21+7n
----------------=7
3+n
　　其中：n=0、1、2、3……
　　应用方面的例子：
　　全体偶数=2(n)+2,（n=0、1、2、3……）

　　自然数中的全部合数=4+2n+h(2+n)
　　其中：n=0、1、2、3……
　　对n的每个取值都重复取
　　h=0、1、2、3……

Ⅱ、模式黑洞数

　　模式黑洞数是指模的同余式mn+l条件下的黑洞数。在前文《模根因数定理与模根剩余法判定素数》一文中，模根因数定理（1）式：
　　若a＞1，b＞1，且ab=mk+l，则有：
　　m（k+an）+l
--------------------------=a
b+mn
　　其中：n=0、1、2、3……
　　这时的a值就是模式黑洞数。
　　应用实例：
　　取a=7，b=13,则ab=91=mk+l=2×45×1
　　2（45+7n）+1
根据上式得到：--------------------------=7
13+2n
其中：n=0、1、2、3……
应用实例：素数通式定理
若ap是同余式2n+1模根数列的条件剩余数，
当ap≠4+3n+h(3+2n)时
其中：n=0、1、2、3……
对n的每个取值都重复取
h=0、1、2、3……
则条件通式2+1的值恒是素数。
模式黑洞数性质是我们建立素数代数理论体系的根本前提。

Ⅲ、方幂余式黑洞数

　　在方幂余式除法a^n÷m≡l关系中，当得到l^n÷m≡l时(n=1、2、3……),我们称这时的l为因数a的m值黑洞数。
例如：在3×5=15关系时
我们得到：3^4÷15≡6
这时有：6^n÷15≡6（n=1、2、3……）
　　所以我们称6是因数3的15值的方幂余式黑洞数。
　　为了方便,我们引入符号⊙（m）a=l来表示方幂余式黑洞数关系。即上式结果可表示为⊙（15）3=6，符号“⊙”在这里读作黑洞数。
下面我们将证明方幂余式黑洞数定理；
定理1：如a＞1，b＞1，（a，b）=1且ab=m；
则有：a^ф（b）≡⊙（modm）
即这时：⊙^n≡⊙（modm）
其中：n=1、2、3……
证：我们分别对b为素数，b为素数乘方，b为多个素数乘积时的情况加以证明。
当b为素数时：
取a=7，b=19，则ab=7×19=133
由定理关系得到：
7^ф（19）=7^18≡77（mod133）
而77^n≡77（mod133）此时定理关系成立
当b为素数的n次乘方时：
取a=7，b=5^2=25，则ab=7×25=175
由定理关系得到：
7^ф（25）=7^20≡126（mod175）
而126^n≡126（mod175）此时定理关系也成立
当b为多个素数乘积时：
取a=7，b=3×11=33，则ab=7×33=231
由定理关系得到：
7^ф（33）=7^20≡133（mod231）
而133^n≡133（mod231）所述定理关系式成立
故定理1得证

方幂余式黑洞数的一些性质及应用：

1、因数a的黑洞数减1的平方除m的余数是因数b的黑洞数；
即：如⊙(m)a=e1，则(e1-1)^2÷m≡e2=⊙(m)b

2、m所含黑洞数的个数等于m所含素因数个数做为2底方次数减2；
即：m为素数没有黑洞数
m有2个素因子时有2^2-2=2个黑洞数
m含有3个素因子时有2^3-2=6个黑洞数

3、在m定值后，如果把全部an(n=1、2、3……但n≠b)值都做为底数，这时的
a^c÷m≡⊙的c值变化规律。与m的余数循环节a^c÷m≡1规律具有相同的变节和不变节特性。
即：若7^10≡⊙（modm）关系成立，
则（7^2）5≡⊙（modm）关系也成立；
应用方面的例子：
若b＞c，我们有以下二元一次方程ax-by-c=0求根法则：
首先：取ab=m
计算：a^ф（b）÷m≡⊙
计算：⊙×c÷m≡s1
计算：（⊙-1）×c÷m≡s2
x=s1÷a
这时
y=s2÷b
这时的x，y值是方程的最小整数根。
但方程ax-by-c=0有无限多组整数根，它的全部整数根集可表示为：
x=s1÷a+bn
y=s2÷b+an
其中：n=0、1、2、3……
实例1：求方程13x-7y-3=0的最小整数根和全部整数根？
首先：取13×7=91
计算：13^ф（7）=13^6÷91≡78
计算：78×3÷91≡52
计算：（78-1）×3÷91≡49
x=52÷13=4
这时
y=49÷7=7
这时的x，y值是方程的最小整数根。
但方程ax-by-c=0有无限多组整数根，它的全部整数根集可表示为：
x=4+7n
y=7+13n
其中：n=0、1、2、3……
实例2：求方程13x-8y+4=0的最小整数根和全部整数根？
首先：取13×8=104
计算：13^ф（8）=13^4÷91≡65
计算：65×（-4）÷104≡-52≡52
计算：（65-1）×（-4）÷104≡-48≡56
x=52÷13=4
这时
y=56÷8=7
这时的x，y值是方程的最小整数根。
但方程13x-8y+4=0有无限多组整数根，它的全部整数根集可表示为：
x=4+8n
y=7+13n
其中：n=0、1、2、3……

　　随着时间的推移，相信人们会看到黑洞数理论的更多成果。