已知函数f（n）=log_n+1（n+2）（n∈N^*），定义：使f（1）f（2）…f（k）为整数的数k（k∈N^*）叫作企盼数，则在区间[1，10]内这样的企盼数共有________个．在线课程解：f（1）f（2）…f（k）=log₂3log₃4…log_k+1（k+2）
===log₂（k+2），
令log₂（k+2）=m，m∈z．则k+2=2^m，k=2^m-2，
由1≤k≤10，即1≤2^m-2≤10，解得m=2，3．
此时k=2或6．
故答案为：2．
分析：先把f（1）f（2）…f（k）表示出来并化简，再根据企盼数的定义可求出满足条件的k值，从而得到企盼数的个数．
点评：本题考查了对数的有关运算以及分析解决新问题的能力，解决本题的关键是对f（1）f（2）…f（k）进行正确化简．