已知函数f（x）=ax³+x²-ax（a，x∈R）．
（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）对应曲线上平行于x轴的所有切线的方程；
（Ⅱ）求函数的单调递增区间．在线课程解：（I）若a=1，则f（x）=x³+x²-x，∴f′（x）=3x²+2x-1．
令f′（x）=0?3x²+2x-1=0?x=-1或x=．
把x=-1代入f（x）=x³+x²-x得：f（-1）=1．所以切线方程为：y-1=0×（x+1）?y-1=0；
把x=代入f（x）=x³+x²-x得：f（）=．所以切线方程为：y-=0×（x-）?y-=0．
（II）：由题得：x＞
∵=ax²+x-a-lnx；
∴g′（x）=2ax+1-=；
所以：g′（x）≥0?≥0?2ax²+x-1≥0．
①当a=0时，2ax²+x-1=x-1≥0?x≥1，此时，函数g（x）的单调增区间是[1，+∞），
②当a≤-，2ax²+x-1≥0恒成立，此时，函数g（x）的单调增区间是[，+∞），
③当a＞-且a≠0时，2ax²+x-1≥0?≤x≤，
（Ⅰ）当-＜a＜0或a＞1时，有＞，此时，函数g（x）的单调增区间是[，+∞）；
（Ⅱ）当0＜a＜1时，有＜，此时，函数g（x）的单调增区间是[，+∞），
综合可得当a≤-或0＜a＜1时，函数g（x）的单调增区间是[，+∞），
当a=0时，函数g（x）的单调增区间是[1，+∞），
当-＜a＜0或a＞1时，函数g（x）的单调增区间是[，+∞）．
分析：（I）先求出函数f（x）=ax³+x²-ax的导函数，利用导函数值等于0求出对应的，并求出对应点的坐标，即可得到切线方程．
（II）先求出其导函数，再求出导函数大于等于0的区间即可得到其单调递增区间，注意是在定义域内找增减区间，要避免出错．
点评：本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程．切线斜率的求法是先求函数的导函数，切点处的导函数值极为切线斜率，还考查了对数函数的导数，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查计算能力，属于中档题．