数列{a_n}满足．
（Ⅰ）求a₂，a₃；
（Ⅱ） 求证：a₁+a₂+…+a_n=；
（Ⅲ）求证：．在线课程（Ⅰ）解：∵数列{a_n}满足．
∴，…（2分）
（Ⅱ）证明：由知 ，． （1）
所以 ，
即 ． …（5分）
从而 a₁+a₂+…+a_n==． …（7分）
（Ⅲ） 证明：等价于
证明，
即 ． （2）…（8分）
当n=1时，，，
即n=1时，（2）成立．
设n=k（k≥1）时，（2）成立，即 ．
当n=k+1时，由（1）知； …（11分）
又由（1）及知 均为整数，
从而由 有 即，
所以 ，
即（2）对n=k+1也成立．
所以（2）对n≥1的正整数都成立，
即对n≥1的正整数都成立． …（13分）
注：不同解法请教师参照评标酌情给分．
分析：（Ⅰ）利用数列{a_n}满足，分别代入，即可求得a₂，a₃；
（Ⅱ）由知 ，从而可得，代入即可得出结论；
（Ⅲ） 证明等价于证明，
即证 ，再利用数学归纳法进行证明．
点评：本题考查数列递推式，考查数列与不等式，考查数学归纳法，正确运用数列递推式，及数学归纳法的证题步骤是解题的关键．