设棱长为1的正方体ABCD-A′B′C′D′中.M为AA′的中点.则直线CM和D′D所成的角的余弦值为．

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编辑：chaxungu时间：2026-04-27 17:22:29分类：高中数学题库

设棱长为1的正方体ABCD-A′B′C′D′中，M为AA′的中点，则直线CM和D′D所成的角的余弦值为________．在线课程 $\text{[math]}$
分析：因为D′D∥AA′，所以∠CMA就是异面直线CM和D′D所成的角，再在直角三角形MAC中求此角的余弦值即可
解答：

如图：∵D′D∥AA′，∴∠CMA就是异面直线CM和D′D所成的角
在Rt△MAC中，∠MAC=90°，AM= $\text{[math]}$ AA′= $\text{[math]}$ ，AC= $\text{[math]}$ ，
∴CM= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴cos∠MAC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴直线CM和D′D所成的角的余弦值为 $\text{[math]}$
故答案为 $\text{[math]}$
点评：本题主要考查了空间异面直线所成的角的作法、证法、求法，将空间问题转化为平面问题的思想方法，属基础题

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