已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意正整数n，有S_n、a_n、n成等差数列．
（Ⅰ）求证：数列{a_n+1}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{}的前n项和T_n；
（Ⅲ）数列{b_n}满足b₁=3，b_n+1=λb_n+a_n+1，若{b_n}为等比数列，求实数λ．在线课程解：（Ⅰ）依题意，2a_n=S_n+n
当n=1时，2a₁=a₁+1
∴a₁=1
n≥2时，2a_n-1=s_n-1+n-1
两式相减得，2a_n-2a_n-1=a_n+1
∴a_n=2a_n-1+1
令1+a_n=d_n，d₁=a₁+1=2
当n≥2时，=2
∴数列{a_n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数
∴， …（4分）
（Ⅱ）==
∴
=
（Ⅲ）∵b₁=3，b_n+1=λb_n+a_n+1=
∴b₂=λb₁+2=3λ+2
∵{b_n}为等比数列
∴
∴9λ²+12λ+4=9λ²+6λ+12
∴
此时
当时，b₁=3，b₂=6，q=2
∴
∴b_n+1===3•2ⁿ
满足
∴ …（12分）
分析：（Ⅰ）依题意，2a_n=S_n+n，当n=1时，可求a₁，n≥2时，由2a_n-1=s_n-1+n-1，两式相减得，a_n=2a_n-1+1，可证明，进而可求通项
（Ⅱ）==，利用分组，结合等比数列的求和公式可求数列的和
（Ⅲ）由 {b_n}为等比数列 可得，结合已知递推公式代入可求λ
点评：本题主要考查了利用构造法证明等比数列，及通项公式的求解，分组求和方法的应用，等差数列、等比数列的求和公式的应用，试题具有一定的综合性