求证:2＜(1+)n＜3(n≥2.n∈N*)．

查询谷 - www.chaxungu.com

编辑：chaxungu时间：2026-04-27 17:28:15分类：高中数学题库

求证：2＜（1+ $数学公式$ ）ⁿ＜3（n≥2，n∈N^*）．在线课程证明：（1+ $\text{[math]}$ ）ⁿ=C_n⁰+C_n¹× $\text{[math]}$ +C_n²（ $\text{[math]}$ ）²+…+C_nⁿ（ $\text{[math]}$ ）ⁿ
=1+1+C_n²× $\text{[math]}$ +C_n³× $\text{[math]}$ +…+C_nⁿ× $\text{[math]}$
=2+ $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$
＜2+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ＜2+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$
=2+ $\text{[math]}$ =3-（ $\text{[math]}$ ）^n-1＜3．
显然（1+ $\text{[math]}$ ）ⁿ=1+1+C_n²× $\text{[math]}$ +C_n³× $\text{[math]}$ +…+C_nⁿ× $\text{[math]}$ ＞2．
所以2＜（1+ $\text{[math]}$ ）ⁿ＜3．
分析：由二项式定理知（1+ $\text{[math]}$ ）ⁿ=2+ $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ＜2+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ＜2+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ =2+ $\text{[math]}$ =3-（ $\text{[math]}$ ）^n-1＜3．且（1+ $\text{[math]}$ ）ⁿ=1+1+C_n²× $\text{[math]}$ +C_n³× $\text{[math]}$ +…+C_nⁿ× $\text{[math]}$ ＞2．由此知2＜（1+ $\text{[math]}$ ）ⁿ＜3．
点评：本题考查不等式的性质和应用，解题时要注意二项式定理和放缩法的合理运用．

上一篇：已知函数．的最小正周期和值域,(Ⅱ)若.求sin2α的值．

下一篇：已知数列{an}满足a1=1.an=2an-1+2n-1(n≥2.n∈N*).又数列为等差数列．(1)求实数λ的值及{an}的通项公式an(2)求数列{an}的前n项和Sn

查询谷 - www.chaxungu.com

求证:2＜(1+)n＜3(n≥2.n∈N*)．

最新文章