设不等式2(logx)2+9(logx)+9≤0的解集为M.求当x∈M时.函数f(x)=(log2)•(log2)的最大值和最小值．

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编辑：chaxungu时间：2026-04-27 17:05:57分类：高中数学题库

设不等式2（log $数学公式$ x）²+9（log $数学公式$ x）+9≤0的解集为M，求当x∈M时，函数f（x）=（log₂ $数学公式$ ）•（log₂ $数学公式$ ）的最大值和最小值．在线课程解：∵2（log $\text{[math]}$ x）²+9（log $\text{[math]}$ x）+9≤0，
∴（2log $\text{[math]}$ x+3）（log $\text{[math]}$ x+3）≤0．
∴-3≤log $\text{[math]}$ x≤- $\text{[math]}$ ．
即log $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）^-3≤log $\text{[math]}$ x≤log $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$
∴（ $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$ ≤x≤（ $\text{[math]}$ ）^-3，即2 $\text{[math]}$ ≤x≤8．
从而M=[2 $\text{[math]}$ ，8]．
又f（x）=（log₂x-1）（log₂x-3）=（log₂x）²-4log₂x+3=（log₂x-2）²-1．
∵2 $\text{[math]}$ ≤x≤8，
∴ $\text{[math]}$ ≤log₂x≤3．
∴当log₂x=2，即x=4时y_min=-1；
当log₂x=3，即x=8时，y_max=0．
分析：由2（log $\text{[math]}$ x）²+9（log $\text{[math]}$ x）+9≤0可知-3≤log $\text{[math]}$ x≤- $\text{[math]}$ ，从而推导出 $\text{[math]}$ ≤log₂x≤3，再由f（x）=（log₂x-1）（log₂x-3（log₂x-2）²-1能够推导出函数f（x）=（log₂ $\text{[math]}$ ）（log₂ $\text{[math]}$ ）的最大值和最小值．
点评：先解不等式求出解集为M，再利用对数函数的性质和二次函数的最值求函数f（x）=（log₂ $\text{[math]}$ ）•（log₂ $\text{[math]}$ ）的最大值和最小值．

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设不等式2(logx)2+9(logx)+9≤0的解集为M.求当x∈M时.函数f(x)=(log2)•(log2)的最大值和最小值．

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