椭圆的离心率为分别是左、右焦点，过F₁的直线与圆（x+c）²+（y+2）²=1相切，且与椭圆E交于A、B两点．
（1）当时，求椭圆E的方程；
（2）若直线AB的倾斜角为锐角，当c变化时，求证：AB的中点在一定直线上．在线课程（1）解：由椭圆的离心率为，可设椭圆E：
根据已知设切线AB为：y=k（x+c），即kx-y+ck=0，
圆（x+c）²+（y+2）²=1的圆心（-c，-2）到直线kx-y+ck=0的距离为d==1
∴k=
∴切线AB为：y=（x+c），与椭圆方程联立，消元可得5x²+8cx=0
∴x₁=0，x₂=-，
∴|AB|===
∴c=1，
∴椭圆E的方程为：．（9分）
（2）证明：由（1）及已知得，AB的中点（-），
故弦AB的中点在定直线（x＜0）上．（13分）
分析：（1）根据椭圆的离心率为，可设椭圆E：，设切线AB为：y=k（x+c），即kx-y+ck=0，利用圆（x+c）²+（y+2）²=1的圆心（-c，-2）到直线kx-y+ck=0的距离为d==1，求得斜率，再将直线方程与椭圆方程联立，消元，利用弦长即可求得椭圆E的方程；
（2）由（1）及已知得AB的中点（-），从而可得结论．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，联立方程是关键．