数列{an}的前n项和为Sn.若数列{an}的各项按如下规律排列:..........-...-..-有如下运算和结论:①,②③数列a1.a2+a3.a4+a5+a6.a7+a8+a9+a10.-是等

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编辑：chaxungu时间：2026-04-27 17:10:11分类：高中数学题库

数列{a_n}的前n项和为S_n，若数列{a_n}的各项按如下规律排列： $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ ，…， $数学公式$ ， $数学公式$ ，…， $数学公式$ ，…有如下运算和结论：
① $数学公式$ ；
② $数学公式$
③数列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…是等比数列
④数列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…的前n项和为 $数学公式$ ；
⑤若存在正整数k，使S_k＜10，S_k+1＞10，则 $数学公式$ ．
在后面横线上填写出所有你认为正确运算结果或结论的序号________．在线课程②④⑤
分析：根据数列的规律，分母为n时，所对应的项数是（n-1）项．从分母是2开始到分母为n结束共有 $\text{[math]}$ 项
①前23项构成的数列是： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ … $\text{[math]}$ ，则第23项一目了然．
②易知：前11项构成的数列是： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，再求和便知正误．
③数列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…实际上是 $\text{[math]}$ ，1， $\text{[math]}$ ，2，… $\text{[math]}$ ，再由数列定义判断
④数列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…实际上是 $\text{[math]}$ ，1， $\text{[math]}$ ，2，… $\text{[math]}$ ，先判断数列类型，再用求其前n项和．
⑤通过④的前n项和解不等式，确定k的值，从而再判断终止的项．
解答：①前23项构成的数列是： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ … $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，故不正确；
②由数列可知：前11项构成的数列是： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∴s₁₁= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，故正确；
③数列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…是 $\text{[math]}$ ，1， $\text{[math]}$ ，2， $\text{[math]}$
由等差数列定义 $\text{[math]}$ （常数），所以是等差数列，故不正确．
④∵数列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…是 $\text{[math]}$ ，1， $\text{[math]}$ ，2，… $\text{[math]}$ ．
由③知是等差数列，所以由等差数列前n项和公式可知： $\text{[math]}$ ，故正确；
⑤由④知数列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，a₁₁+a₁₂+a₁₃+a₁₄+a₁₅，a₁₆+a₁₇+a₁₈+a₁₉+a₂₀+a₂₁，是 $\text{[math]}$ ，1， $\text{[math]}$ ，2， $\text{[math]}$
， $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$
∴T₅=7.5＜10，T₆=10.5＞10，∴ $\text{[math]}$ ，正确．
故答案为：②④⑤
点评：本题主要考查探究数列的规律，转化数列，构造数列来研究相应数列通项和前n项和问题，这种题难度较大，必须从具体到一般地静心研究，再推广到一般得到结论．

上一篇：下面的程序框图给出数列{an}(n∈N*).下同)的递推关系.计算并输出数列{an}和{}前若干项之和S.T．(1)若输入p=1.S满足80＜S＜100.求输入的n的值,(2)若输入p＞1.n.求输出

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