已知△ABC中.D.E分别为边BC.AC的中点.AD.BE交于点G...其中λ.μ＞0..S△ABC=1.则S△GMN的取值范围是A.(0.)B.()C.()D.(0.)

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编辑：chaxungu时间：2026-04-27 17:29:35分类：高中数学题库

已知△ABC中，D、E分别为边BC、AC的中点，AD、BE交于点G， $数学公式$ ， $数学公式$ ，其中λ，μ＞0， $数学公式$ ，S_△ABC=1，则S_△GMN的取值范围是
A.（0， $数学公式$ ）B.（ $数学公式$ ）C.（ $数学公式$ ）D.（0， $数学公式$ ）在线课程D
分析：根据D、E分别为边BC、AC的中点，AD、BE交于点G可得G为重心利用重心的性质可求出 $\text{[math]}$ 再根据S_△ABC=1可求出 $\text{[math]}$ 再结合条件 $\text{[math]}$ 可得出 $\text{[math]}$ 从而可求出 $\text{[math]}$ 下面只需求出t的范围即可而 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且λ，μ＞0可知M不可能与E重合所以0＜t＜ $\text{[math]}$ 即可求出S_△GMN的取值范围．
解答：

解：∵D、E分别为边BC、AC的中点，AD、BE交于点G
∴G为三角形ABC的重心
过G作GF⊥BC于F，AH⊥BC于H
则Rt△GDE∽Rt△ADF
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∵S_△ABC=1
∴ $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$
∴MN∥BD且 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 其中λ，μ＞0
∴M不可能与E重合
∵ $\text{[math]}$
∴MN∥BD
∵ $\text{[math]}$
∴0＜t＜ $\text{[math]}$ ，
∴0＜t²＜ $\text{[math]}$
∴0＜ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$
∴0＜S_△GMN＜ $\text{[math]}$
故选D
点评：本题主要考查了向量的数乘以及向量的几何意义．解题的关键是根据重心的性质结合S_△ABC=1和 $\text{[math]}$ 求出 $\text{[math]}$ ，但根据 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且λ，μ＞0可知M不可能与E重合求出0＜t＜ $\text{[math]}$ 则是最为重要的！

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