已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n=log_n（n+1）（n≥2，n∈N*）．定义：使乘积a₁•a₂•a₃…a_k为正整数的k（k∈N*）叫做“和谐数”，则在区间[1，2010]内所有的“和谐数”的和为
A.2048B.4096C.2026D.4083在线课程C
分析：利用a_n=log_n+1（n+2），化简a₁•a₂•a₃…a_k，得k=2^m-2，给m依次取值，可得区间[1，2010]内所有和谐数，然后求和．
解答：a_n=log_n+1（n+2），
∴由a₁•a₂…a_k为整数得1•log₂3•log₃4…log_（k+1）（k+2）=log₂（k+2）为整数，
设log₂（k+2）=m，则k+2=2^m，
∴k=2^m-2； 因为2¹¹=2048＞2010，
∴区间[1，2010]内所有和谐数为：2²-2，2³-2，2⁴-2，…，2¹⁰-2，
其和M=2²-2+2³-2+2⁴-2+…+2¹⁰-2=2026．
故选C．
点评：本题以新定义“和谐数”为切入点，主要考查了对数的换底公式及对数的运算性质的应用，属于中档试题