是否存在a、b、c使得等式1•2²+2•3²+…+n（n+1）²=（an²+bn+c）．在线课程解：假设存在a、b、c使题设的等式成立，
这时令n=1，2，3，有解得：．
于是，对n=1，2，3下面等式成立
1•2²+2•3²+…+n（n+1）²=
记S_n=1•2²+2•3²+…+n（n+1）²
证明：①由前面可知，当n=1时，等式成立，
②设n=k时上式成立，即S_k=（3k²+11k+10）
那么S_k+1=S_k+（k+1）（k+2）²=（k+2）（3k+5）+（k+1）（k+2）²
=（3k²+5k+12k+24）
=[3（k+1）²+11（k+1）+10]
也就是说，等式对n=k+1也成立．
综上所述，当a=3，b=11，c=10时，题设对一切自然数n均成立．
分析：首先假设存在a、b、c使题设的等式成立，令n=1，2，3，可求得a、b、c的值，令S_n=1•2²+2•3²+…+n（n+1）²
用数学归纳法予以证明即可．
点评：本题考查数学归纳法，首先要求得a、b、c的值，考查方程思想，其次再用数学归纳法证明，证明时的难点在n=k+1，注意项数的变化与理解，属于难题．